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算法分析程序举例

发布时间:2022-11-08 06:39:49

Ⅰ 算法优化例子

最大连续子序列和问题:给定(可能是负的)整数序列 ,寻找(并标识) 的值为最大的序列。如果所有的整数都是负的,那么最大连续子序列的和是0。

最简单的算法是直接的穷尽查找,即蛮力算法(Brute Force Algorithm),找出所有子序列并求和,遍历所有求和结果找出最大值。

这一算法非常简单易于理解,最外层循环需要执行n次,第二层循环需要执行n-i次,第三层循环执行j-i次,由此可得时间复杂度为 ,即 。
在该算法中嵌套循环几乎贡献了所有的时间复杂度,简单的理解一个循环有N的时间复杂度,那么三层嵌套就是N的三次方。

由蛮力算法可知,导致时间复杂度的主要是循环,通过减少循环就可以降低时间复杂度。分析蛮力算法可得,第三层循环计算 thisSum 有太多的重复步骤,没必要每次都重新求和,利用 在第二层循环累加即可。

由于循环只有两层,所以时间复杂度降低为 。

3、线性算法
从平方算法降低到线性算法还需要再删除一个循环,但是平方算法降低到线性算法,不能只是简单的改变程序,需要思想。前两种算法本质上还是穷尽法,只不过有一些巧妙的改进,想要得到线性算法就需要改变思想。

可以通过分析来排除一些可能的子序列。如果一个子序列是负的,那么它绝对不会出现在最大连续子序列的开始部分,这非常容易理解,因为如果开始部分是负的,显然起到减小作用,为什么又要包含进去呢?以某一序列 {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k......y, z} 为例,如果a是负的,肯定不会以a开头;如果cdef是负的,可以直接跳到g开始,可能会问为什么不从d开始呢?原因在于c肯定不会是负的,见a情况,那么整个是负的,c又是正的,那么def也肯定是负的,没有必要再考虑了。

由于只用到一个至多循环n次的循环,所以是一个线性算法。

算法效率提升有两种,一是程序上的优化,一是设计思想上的优化。思想上的优化是本质上的改变。

Ⅱ C语言算法有哪些 并举例和分析

算法大全(C,C++)
一、 数论算法

1.求两数的最大公约数
function gcd(a,b:integer):integer;
begin
if b=0 then gcd:=a
else gcd:=gcd (b,a mod b);
end ;

2.求两数的最小公倍数
function lcm(a,b:integer):integer;
begin
if a<b then swap(a,b);
lcm:=a;
while lcm mod b>0 do inc(lcm,a);
end;

3.素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数:
function prime (n: integer): Boolean;
var I: integer;
begin
for I:=2 to trunc(sqrt(n)) do
if n mod I=0 then begin
prime:=false; exit;
end;
prime:=true;
end;

B.判断longint范围内的数是否为素数(包含求50000以内的素数表):
procere getprime;
var
i,j:longint;
p:array[1..50000] of boolean;
begin
fillchar(p,sizeof(p),true);
p[1]:=false;
i:=2;
while i<50000 do begin
if p[i] then begin
j:=i*2;
while j<50000 do begin
p[j]:=false;
inc(j,i);
end;
end;
inc(i);
end;
l:=0;
for i:=1 to 50000 do
if p[i] then begin
inc(l);pr[l]:=i;
end;
end;{getprime}

function prime(x:longint):integer;
var i:integer;
begin
prime:=false;
for i:=1 to l do
if pr[i]>=x then break
else if x mod pr[i]=0 then exit;
prime:=true;
end;{prime}

二、图论算法

1.最小生成树

A.Prim算法:

procere prim(v0:integer);
var
lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:integer;
begin
for i:=1 to n do begin
lowcost[i]:=cost[v0,i];
closest[i]:=v0;
end;
for i:=1 to n-1 do begin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}
min:=maxlongint;
for j:=1 to n do
if (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then begin
min:=lowcost[j];
k:=j;
end;
lowcost[k]:=0; {将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}
for j:=1 to n do
if cost[k,j]<lwocost[j] then begin
lowcost[j]:=cost[k,j];
closest[j]:=k;
end;
end;
end;{prim}

B.Kruskal算法:(贪心)

按权值递增顺序删去图中的边,若不形成回路则将此边加入最小生成树。
function find(v:integer):integer; {返回顶点v所在的集合}
var i:integer;
begin
i:=1;
while (i<=n) and (not v in vset[i]) do inc(i);
if i<=n then find:=i else find:=0;
end;

procere kruskal;
var
tot,i,j:integer;
begin
for i:=1 to n do vset[i]:=[i];{初始化定义n个集合,第I个集合包含一个元素I}
p:=n-1; q:=1; tot:=0; {p为尚待加入的边数,q为边集指针}
sort;
{对所有边按权值递增排序,存于e[I]中,e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号,e[I].len为第I条边的长度}
while p>0 do begin
i:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2);
if i<>j then begin
inc(tot,e[q].len);
vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];
dec(p);
end;
inc(q);
end;
writeln(tot);
end;

2.最短路径

A.标号法求解单源点最短路径:
var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}
mark:array[1..maxn] of boolean;

procere bhf;
var
best,best_j:integer;
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点}
repeat
best:=0;
for i:=1 to n do
If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
for j:=1 to n do
if (not mark[j]) and (a[i,j]>0) then
if (best=0) or (b[i]+a[i,j]<best) then begin
best:=b[i]+a[i,j]; best_j:=j;
end;
if best>0 then begin
b[best_j]:=best;mark[best_j]:=true;
end;
until best=0;
end;{bhf}

B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径:
procere floyed;
begin
for I:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
for k:=1 to n do {枚举中间结点}
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,k]+a[j,k]<a[i,j] then begin
a[i,j]:=a[i,k]+a[k,j];
p[I,j]:=p[k,j];
end;
end;

C. Dijkstra 算法:

var
a:array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
mark:array[1..maxn] of boolean;
procere dijkstra(v0:integer);
begin
fillchar(mark,sizeof(mark),false);
for i:=1 to n do begin
d[i]:=a[v0,i];
if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;
end;
mark[v0]:=true;
repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点}
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (d[i]<min) then begin
u:=i; min:=d[i];
end;
if u<>0 then begin
mark[u]:=true;
for i:=1 to n do
if (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]<d[i]) then begin
d[i]:=a[u,i]+d[u];
pre[i]:=u;
end;
end;
until u=0;
end;

3.计算图的传递闭包

Procere Longlink;
Var
T:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;
Begin
Fillchar(t,sizeof(t),false);
For k:=1 to n do
For I:=1 to n do
For j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]);
End;

4.无向图的连通分量

A.深度优先
procere dfs ( now,color: integer);
begin
for i:=1 to n do
if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}
c[i]:=color;
dfs(I,color);
end;
end;

B 宽度优先(种子染色法)

5.关键路径

几个定义: 顶点1为源点,n为汇点。
a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0;
b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n);
c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由<j,k>表示,则Ee[I] = Ve[j];
d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由<j,k>表示,则El[I] = Vl[k] – w[j,k];
若 Ee[j] = El[j] ,则活动j为关键活动,由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法:
a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b. 从汇点起topsort,求Vl;
c. 算Ee 和 El;

6.拓扑排序

找入度为0的点,删去与其相连的所有边,不断重复这一过程。
例 寻找一数列,其中任意连续p项之和为正,任意q 项之和为负,若不存在则输出NO.

7.回路问题

Euler回路(DFS)
定义:经过图的每条边仅一次的回路。(充要条件:图连同且无奇点)

Hamilton回路
定义:经过图的每个顶点仅一次的回路。

一笔画
充要条件:图连通且奇点个数为0个或2个。

9.判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法

x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点,终点和权。共n个结点和m条边。
procere bellman-ford
begin
for I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive;
d[0]:=0;
for I:=1 to n-1 do
for j:=1 to m do {枚举每一条边}
if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then d[y[j]]:=d[x[j]]+t[j];
for I:=1 to m do
if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then return false else return true;
end;

10.第n最短路径问题

*第二最短路径:每举最短路径上的每条边,每次删除一条,然后求新图的最短路径,取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理,第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。

三、背包问题

*部分背包问题可有贪心法求解:计算Pi/Wi
数据结构:
w[i]:第i个背包的重量;
p[i]:第i个背包的价值;

1.0-1背包: 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次):

A.求最多可放入的重量。
NOIP2001 装箱问题
有一个箱子容量为v(正整数,o≤v≤20000),同时有n个物品(o≤n≤30),每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中,任取若千个装入箱内,使箱子的剩余空间为最小。
l 搜索方法
procere search(k,v:integer); {搜索第k个物品,剩余空间为v}
var i,j:integer;
begin
if v<best then best:=v;
if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和}
if k<=n then begin
if v>w[k] then search(k+1,v-w[k]);
search(k+1,v);
end;
end;

l DP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
实现:将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界:f[0,0]:=true.
For I:=1 to n do
For j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];
优化:当前状态只与前一阶段状态有关,可降至一维。
F[0]:=true;
For I:=1 to n do begin
F1:=f;
For j:=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:=true;
F:=f1;
End;

B.求可以放入的最大价值。
F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }

C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procere update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
if j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]);
a:=c;
end;

2.可重复背包

A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志,为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])

B.求可以放入的最大价值。
USACO 1.2 Score Inflation
进行一次竞赛,总时间T固定,有若干种可选择的题目,每种题目可选入的数量不限,每种题目有一个ti(解答此题所需的时间)和一个si(解答此题所得的分数),现要选择若干题目,使解这些题的总时间在T以内的前提下,所得的总分最大,求最大的得分。
*易想到:
f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j])
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现:
Begin
FillChar(f,SizeOf(f),0);
For i:=1 To M Do
For j:=1 To N Do
If i-problem[j].time>=0 Then
Begin
t:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
If t>f[i] Then f[i]:=t;
End;
Writeln(f[M]);
End.

C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001 Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一,生成每个质数的系数的排列,在一一测试,这是通法。
procere try(dep:integer);
var i,j:integer;
begin
cal; {此过程计算当前系数的计算结果,now为结果}
if now>n then exit; {剪枝}
if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
cal;
if now=n then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to n div pr[dep] do begin
xs[dep]:=i;
try(dep+1);
xs[dep]:=0;
end;
end;

思路二,递归搜索效率较高
procere try(dep,rest:integer);
var i,j,x:integer;
begin
if (rest<=0) or (dep=l+1) then begin
if rest=0 then inc(tot);
exit;
end;
for i:=0 to rest div pr[dep] do
try(dep+1,rest-pr[dep]*i);
end;
{main: try(1,n); }

思路三:可使用动态规划求解
USACO1.2 money system
V个物品,背包容量为n,求放法总数。
转移方程:

Procere update;
var j,k:integer;
begin
c:=a;
for j:=0 to n do
if a[j]>0 then
for k:=1 to n div now do
if j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]);
a:=c;
end;
{main}
begin
read(now); {读入第一个物品的重量}
i:=0; {a[i]为背包容量为i时的放法总数}
while i<=n do begin
a[i]:=1; inc(i,now); end; {定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1,作为初值}
for i:=2 to v do
begin
read(now);
update; {动态更新}
end;
writeln(a[n]);

四、排序算法

A.快速排序:

procere qsort(l,r:integer);
var i,j,mid:integer;
begin
i:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
while a[i]<mid do inc(i); {在左半部分寻找比中间数大的数}
while a[j]>mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数}
if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}
swap(a[i],a[j]);
inc(i);dec(j); {继续找}
end;
until i>j;
if l<j then qsort(l,j); {若未到两个数的边界,则递归搜索左右区间}
if i<r then qsort(i,r);
end;{sort}

B.插入排序:

思路:当前a[1]..a[i-1]已排好序了,现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。
procere insert_sort;
var i,j:integer;
begin
for i:=2 to n do begin
a[0]:=a[i];
j:=i-1;
while a[0]<a[j] do begin
a[j+1]:=a[j];
j:=j-1;
end;
a[j+1]:=a[0];
end;
end;{inset_sort}

C.选择排序:
procere sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=i+1 to n do
if a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j]);
end;

D. 冒泡排序
procere bubble_sort;
var i,j,k:integer;
begin
for i:=1 to n-1 do
for j:=n downto i+1 do
if a[j]<a[j-1] then swap( a[j],a[j-1]); {每次比较相邻元素的关系}
end;

E.堆排序:
procere sift(i,m:integer);{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
var k:integer;
begin
a[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
while k<=m do begin
if (k<m) and (a[k]<a[k+1]) then inc(k);{找出a[k]与a[k+1]中较大值}
if a[0]<a[k] then begin a[i]:=a[k];i:=k;k:=2*i; end
else k:=m+1;
end;
a[i]:=a[0]; {将根放在合适的位置}
end;

procere heapsort;
var
j:integer;
begin
for j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n);
for j:=n downto 2 do begin
swap(a[1],a[j]);
sift(1,j-1);
end;

Ⅲ c语言问题: 什么是算法试从日常生活中找3个例子,描述它们的算法。 详细点,谢谢!

c语言中的算法是指:一系列解决问题的清晰指令,用系统的方法描述解决问题的策略机制。也就是说,能够对一定规范的输入,在有限时间内获得所要求的输出。通俗说就是解决问题的方法和步骤。

描述算法的例子:

  1. 问题:从上海去到北京。

    其中的算法:做汽车、做飞机、或者徒步。

  2. 问题:喝茶。

    其中的算法:先找到茶叶,再烧一壶开水,然后将茶叶放到杯子里,将开水倒入杯中,等茶叶泡好。

  3. 问题:开车。

    其中的算法:首先要打开车门,驾驶员坐好,插上车钥匙,发动汽车。

Ⅳ 简单算法的概念,并举例说明它在程序中的作用。

1 什么叫算法
算法(Algorithm)是解题的步骤,可以把算法定义成解一确定类问题的任意一种特殊的方法。在计算机科学中,算法要用计算机算法语言描述,算法代表用计算机解一类问题的精确、有效的方法。算法+数据结构=程序,求解一个给定的可计算或可解的问题,不同的人可以编写出不同的程序,来解决同一个问题,这里存在两个问题:一是与计算方法密切相关的算法问题;二是程序设计的技术问题。算法和程序之间存在密切的关系。
算法是一组有穷的规则,它们规定了解决某一特定类型问题的一系列运算,是对解题方案的准确与完整的描述。制定一个算法,一般要经过设计、确认、分析、编码、测试、调试、计时等阶段。
对算法的学习包括五个方面的内容:① 设计算法。算法设计工作是不可能完全自动化的,应学习了解已经被实践证明是有用的一些基本的算法设计方法,这些基本的设计方法不仅适用于计算机科学,而且适用于电气工程、运筹学等领域;② 表示算法。描述算法的方法有多种形式,例如自然语言和算法语言,各自有适用的环境和特点;③确认算法。算法确认的目的是使人们确信这一算法能够正确无误地工作,即该算法具有可计算性。正确的算法用计算机算法语言描述,构成计算机程序,计算机程序在计算机上运行,得到算法运算的结果;④ 分析算法。算法分析是对一个算法需要多少计算时间和存储空间作定量的分析。分析算法可以预测这一算法适合在什么样的环境中有效地运行,对解决同一问题的不同算法的有效性作出比较;⑤ 验证算法。用计算机语言描述的算法是否可计算、有效合理,须对程序进行测试,测试程序的工作由调试和作时空分布图组成。

2、算法的特性

算法的特性包括:① 确定性。算法的每一种运算必须有确定的意义,该种运算应执行何种动作应无二义性,目的明确;② 能行性。要求算法中有待实现的运算都是基本的,每种运算至少在原理上能由人用纸和笔在有限的时间内完成;③ 输入。一个算法有0个或多个输入,在算法运算开始之前给出算法所需数据的初值,这些输入取自特定的对象集合;④ 输出。作为算法运算的结果,一个算法产生一个或多个输出,输出是同输入有某种特定关系的量;⑤ 有穷性。一个算法总是在执行了有穷步的运算后终止,即该算法是可达的。
满足前四个特性的一组规则不能称为算法,只能称为计算过程,操作系统是计算过程的一个例子,操作系统用来管理计算机资源,控制作业的运行,没有作业运行时,计算过程并不停止,而是处于等待状态。

3、算法的描述

算法的描述方法可以归纳为以下几种:
(1) 自然语言;
(2) 图形,如N�S图、流程图,图的描述与算法语言的描述对应;
(3) 算法语言,即计算机语言、程序设计语言、伪代码
(4) 形式语言,用数学的方法,可以避免自然语言的二义性。
用各种算法描述方法所描述的同一算法,该算法的功用是一样的,允许在算法的描述和实现方法上有所不同。
人们的生产活动和日常生活离不开算法,都在自觉不自觉地使用算法,例如人们到商店购买物品,会首先确定购买哪些物品,准备好所需的钱,然后确定到哪些商场选购、怎样去商场、行走的路线,若物品的质量好如何处理,对物品不满意又怎样处理,购买物品后做什么等。以上购物的算法是用自然语言描述的,也可以用其他描述方法描述该算法。

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