在工程应用中经常会遇到一些复杂的非线性系统（我们航空发动机就是典型的强非线性模型），这些系统状态方程复杂，难以用数学方法准确建模。在这种情况下，可以建立BP神经网络表达这些非线性系统。该方法把未知系统看成黑箱，首先用系统输入输出数据训练BP神经网络，使网络能够表达该未知函数，然后用训练好的BP神经网络预测系统输出。
本文要拟合的非线性函数是
该函数的图形如下图1所示。
回顾上一篇文章建立BP网络的算法流程，进行具有非线性函数拟合的BP网络可以分为网络构建、训练和预测三步，如下图2所示。
BP神经网络构建 根据要拟合的非线性函数特点确定BP网络结构，由于该非线性函数有两个输入参数，一个输出参数，所以BP网络结构可以设置为2-5-1，即输入层有2个节点，隐含层有5个节点，输出层有1个节点。
BP神经网络训练 用非线性函数输入输出数据训练神经网络，使训练后的网络能够预测非线性函数输出。从非线性函数中随机得到2 000组输入输出数据，从中随机选择1 900组作为训练数据，用于网络训练，100组作为测试数据，用于测试网络的拟合性能。
神经网络预测 用训练好的网络预测输出，并对预测结果进行分析。
根据非线性函数方程随机得到该函数的2 000组输入输出数据，将数据存储在data.mat文件中，input是函数输入数据，output是函数输出数据。从输入输出数据中随机选取1 900组数据作为网络训练数据，100组作为网络测试数据，并对训练数据进行归一化处理。
用训练数据训练BP神经网络，使网络对非线性函数输出具有预测能力。
用训练好的BP神经网络预测非线性函数输出，并通过BP神经网络预测输出和期望输出，分析BP神经网络的拟合能力。
用训练好的BP神经网络预测函数输出，预测结果如下图3所示。
BP神经网络预测输出和期望输出的误差如下图4所示。
从图3和图4可以看出，虽然BP神经网络具有较高的拟合能力，但是网络预测结果仍有一定误差，某些样本点的预测误差较大。
在上一篇文章中提到了调整隐含层节点数目、改变权值和阈值更新算法以及变学习率学习算法等方法，针对非线性拟合，BP神经网络的优化还可以使用多隐层的BP神经网络、改变激活函数等方法。
❷ 建立BP神经网络地面沉降预测模型
基坑降水引起地面沉降的BP神经网络预测模型建模过程如下：
（1）样本选择
因基坑降水引起的地面沉降量和距离基坑的距离关系密切，因此建模选用“基坑降水引起沉降工程数据（第二类）”（见表4.1）中的相关数据作为样本进行学习训练和检验。
（2）BP神经网络结构设计
对于BP网络，对于任何在闭区间内的一个连续函数都可以用单隐层的BP网络逼近，因而一个三层BP网络就可以完成任意的n维到m维的映射。根据网络结构简单化的原则，确定采用三层BP网络结构，即输入层为沉降点距基坑的距离L（m）、等效压缩模量E（MPa）、水位降深H（m）和支护刚度n四个参数，输出层为地面累积沉降量（mm），隐层层数为1层。隐层的神经元数目选择是一个十分复杂的问题，往往需要根据设计者的经验和多次实验来确定，因而不存在一个理想的解析式来表示。隐单元的数目与问题的要求，与输入、输出单元的数目有直接的关系。隐单元数目太多会导致学习时间过长，误差不一定最佳，也会导致容错性差、不能识别以前没有看到的样本，因此一定存在一个最佳的隐单元数。研究通过一次编程比较了隐层神经元个数分别为5、10、15、20、25、30、40时训练速度及检验精度。
图4.2 BP神经网络程序框图
（3）网络训练及检验
BP网络采用梯度下降法来降低网络的训练误差，考虑到基坑降水地面沉降范围内沉降量变化幅度较小的特点，训练时以训练目标取0.001为控制条件，考虑到网络的结构比较复杂，神经元个数比较多，需要适当增加训练次数和学习速率，因此初始训练次数设为10000次，学习速率取0.1，中间层的神经元传递函数采用S型正切函数tansig，传输函数采用logsig，训练函数采用trainlm，选用38组数据中的33组作为训练样本，5组作为检验样本。
（4）网络实现及检验效果
使用MATLAB6.0编程建立基于BP神经网络的基坑降水地面沉降预测模型（程序代码见附件1），其训练误差及检验效果如下：
图4.3 训练误差曲线
图4.4 预测误差曲线
由图4.3、图4.4可见：样本数据收敛，训练误差较小，中间层神经单元个数为10时预测精度较好，误差小于20%，误差满足工程需求。